数学分析(一)-实数集与函数3-函数概念6-基本初等函数4-三角函数3：tan【奇函数】【增函数】【定义域：（-π/2，π/2）值域：(-∞,+∞)】【tan-π/2=-∞、tanπ/2=+∞】
2025-10-12 14:39:39 策略智库
一、正切函数 tan x \tan{x} tanx
根据正切的定义, 我们知道, tan x = sin x cos x \tan x=\cfrac{\sin x}{\cos x} tanx=cosxsinx, 现仿照学习正弦函数的性质, 探究正切函数的性质
1. 定义域
因为 cos x \cos x cosx 不能为零, 所以 x x x 不能为 y y y 轴上的角。因此定义域为:
{ x ∣ x ≠ π 2 + k π , k ∈ Z } \left\{x \left\lvert\, x \neq \cfrac{\pi}{2}+k \pi\right., k \in \mathbb{Z}\right\} {
x
x=2π+kπ,k∈Z}
2. 奇偶性
由诱导公式得, tan ( − x ) = − tan x \tan (-x)=-\tan x tan(−x)=−tanx 检查定义域： { x ∣ x ≠ π 2 + k π , k ∈ Z } \left\{x \left\lvert\, x \neq \cfrac{\pi}{2}+k \pi\right., k \in \mathbb{Z}\right\} {
x
x=2π+kπ,k∈Z}, 关于原点对称 因此，正切函数是奇函数
3. 周期性
由 tan ( x + π ) = tan ( π ) \tan (x+\pi)=\tan (\pi) tan(x+π)=tan(π) 得, tan x \tan x tanx 的周期为 π \pi π
由反证法可知, tan x \tan x tanx 的最小正周期是 π \pi π
4. 值域
初始时的想法： sin x \sin x sinx 和 cos x \cos x cosx 同号时，若 cos x → 0 \cos x \rightarrow 0 cosx→0,则 tan x → + ∞ \tan x \rightarrow+\infty tanx→+∞; 异号时，则 tan x → − ∞ \tan x \rightarrow-\infty tanx→−∞。因此，边界边可以得出。那么值域是否为 R \mathbb{R} R 呢?
参考课本，发现采用的是三角函数线的方式:
考虑 x ∈ [ 0 , π 2 ) x \in\left[0, \cfrac{\pi}{2}\right) x∈[0,2π) 。角的终边与单位圆的交点为 B ( x 0 , y 0 ) B\left(x_{0}, y_{0}\right) B(x0,y0), 过点 B B B 作 x x x 轴垂线 B M B M BM; 过点 A ( 1 , 0 ) A(1,0) A(1,0) 作 x x x 轴垂线, 交角 x x x 的终边于点 T T T
tan x = y 0 x 0 = M B O B = A T O A = A T \tan x=\cfrac{y_{0}}{x_{0}}=\cfrac{M B}{O B}=\cfrac{A T}{O A}=A T tanx=x0y0=OBMB=OAAT=AT
我们可以看到，蓝色的线既为正切的值。我们可以得到如下信息:
在 x ( 0 → π 2 ) x\left(0 \rightarrow \cfrac{\pi}{2}\right) x(0→2π) 时, tan x \tan x tanx的变化是连续的 ( 0 → + ∞ ) (0 \rightarrow+\infty) (0→+∞)
在 x → π 2 x \rightarrow \cfrac{\pi}{2} x→2π 时, tan x → + ∞ \tan x \rightarrow+\infty tanx→+∞ (OB趋"于"行 A T A T AT )
当 x x x 逐渐增大时, tan x \tan x tanx 增速很快（?)
因为 tan x \tan x tanx 为奇函数, 所以在 x ( − π 2 → 0 ) x\left(-\cfrac{\pi}{2} \rightarrow 0\right) x(−2π→0) 时, tan x \tan x tanx 的变化是 ( − ∞ → 0 ) (-\infty \rightarrow 0) (−∞→0) 至此, 我们得出结论, tan x \tan x tanx 的值域为 R \mathbb{R} R
5. 单调性
∀ x 1 , x 2 ∈ [ 0 , π 2 ) , 且 x 1 < x 2 : \forall x_{1}, x_{2} \in\left[0, \cfrac{\pi}{2}\right) \text {, 且 } x_{1} ∀ x 1 , x 2 ∈ [ 0 , π 2 ) tan x 1 tan x 2 = sin x 1 sin x 2 ⋅ cos x 2 cos x 1 ( ∗ ) ∵ 0 ≤ x 1 < x 2 < π 2 ∴ 0 ≤ sin x 1 < sin x 2 < 1 , 0 < cos x 2 < cos x 1 ≤ 1 ∴ 0 ≤ sin x 1 sin x 2 < 1 , 0 < cos x 2 cos x 1 < 1 ∴ 0 ≤ ( ∗ ) < 1 , ( ∗ ) = 0 ⟺ x 1 = 0 ∴ tan x 1 < tan x 2 \begin{array}{l} \forall x_{1}, x_{2} \in\left[0, \cfrac{\pi}{2}\right) \\ \cfrac{\tan x_{1}}{\tan x_{2}}=\cfrac{\sin x_{1}}{\sin x_{2}} \cdot \cfrac{\cos x_{2}}{\cos x_{1}}(*) \\ \because 0 \leq x_{1}